Question

已知點(diǎn)A、B分別是x軸、y軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C、D是某函數(shù)圖象上的點(diǎn)，當(dāng)四邊形ABCD（A、B、C、D各點(diǎn)依次排列）為正方形時(shí)，稱這個(gè)正方形為此函數(shù)圖象的伴侶正方形．如圖，正方形ABCD是反比例函數(shù)y=

2

x

圖象上的其中一個(gè)伴侶正方形．則這個(gè)伴侶正方形的邊長是

2

．

Answer 1

分析：過C作CF垂直于y軸，過D作DE垂直于x軸，利用垂直的定義得到三個(gè)角為直角，再由正方形的性質(zhì)得到四條邊相等，四個(gè)角為直角，利用同角的余角相等得到三個(gè)角相等，利用AAS得出△BFC≌△AOB≌△DAE，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到FC=OB=AE，F(xiàn)B=OA=DE，再由C、D都在反比例函數(shù)y=

2

x

圖象上，故設(shè)C（a，

2

a

），D（b，

2

b

），由OA=OE-AE列出關(guān)系式，再由OF=FB+OB列出另一個(gè)關(guān)系式，聯(lián)立兩關(guān)系式求出a與b的值，確定出CF與FB的長，在直角三角形FCB中，利用勾股定理求出BC的長，即為正方形ABCD的邊長．

解答：解：過C作CF⊥y軸，交y軸于點(diǎn)F，過D作DE⊥x軸，交x軸于點(diǎn)E，
∴∠CFB=∠DEA=∠AOB=90°，
∴∠FCB+∠FBC=90°，∠BAO+∠ABO=90°，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴CB=AB=AD，∠CBA=∠BAD=90°，
∴∠FBC+∠ABO=90°，∠BAO+∠DAE=90°，
∴∠FCB=∠ABO=∠DAE，
∴△BFC≌△AOB≌△DAE，
∴FC=OB=AE，F(xiàn)B=OA=DE，
由C、D都在反比例函數(shù)y=

2

x

圖象上，故設(shè)C（a，

2

a

），D（b，

2

b

），
∴FC=OB=AE=a，F(xiàn)B=OA=DE=

2

b

，
又FB=DE=OA=OE-AE=b-a，
∴

2

b

=b-a，即b²-ab=2①，
又OF=FB+OB=

2

a

，
∴b-a+a=

2

a

，即ab=2②，
②代入①得：b²=4，
解得：b=2，
將b=2代入②得：a=1，
∴CF=1，F(xiàn)B=b-a=1，
在Rt△BCF中，根據(jù)勾股定理得：BC=

CF2+BF2

=

2

，
則這個(gè)伴侶正方形的邊長為

2

．
故答案為：

2

點(diǎn)評(píng)：此題屬于一次函數(shù)綜合題，同時(shí)又屬于新定義題，比較復(fù)雜，先要正確理解伴侶正方形的意義，特別要注意的是正方形的頂點(diǎn)所處的位置，因?yàn)樯婕暗较嚓P(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，所以過某一點(diǎn)作坐標(biāo)軸的垂線是必不可少的，再利用正方形的性質(zhì)和全等三角形的知識(shí)確定相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)即可求解．