Question

等腰△ABC中，AB=BC，點D在BC上，射線BM交AD于點E，∠BAD=∠FBC，點F在射線BM上，且∠BFC=∠ADC．
（1）當F點與E點重合時（如圖1），求證：BD=CF；
（2）當∠BFC=60時（如圖2），S_△ABD：S_△BCF=5：8，△BCF的周長和△ABD的周長之差為3，D點關于過E的某條直線對稱點G，恰好落在射線BM上，連接GC，求線段GC的長度．

Answer 1

【答案】分析：（1）在BF上取點H，使BH=AD，利用全等三角形的判定得出△ABD≌△BCH，進而得出BD=CH，∠ADB=∠BHC，求出∠ADC=∠FHR=∠BFC，即可得出答案；
（2）首先利用S_△ABD：S_△BCF=5：8，得出BF：AD=5：8，進而利用△BCF的周長和△ABD的周長之差為3得出FH=3，進而由△ABD∽△BED，得出BE，DE的長，利用對稱性得出BG，EG的長，即可得出FQ，QG，以及GC的長．
解答：（1）證明：在BF上取點H，使BH=AD，
∵在△ABD和△BCH中：

∴△ABD≌△BCH（SAS），
∴BD=CH，∠ADB=∠BHC，
∵等角的補角相等，
∴∠ADC=∠FHR=∠BFC，
∴FC=CH=BD，

（2）解：∵AB=BC，∠BAD=∠FBC，
∴由題意可得出，C到BF的距離等于B到AD的距離，
∵S_△ABD：S_△BCF=5：8，
∴BF：AD=5：8，
即BF：BH=5：8，FH：BH=3：5，
∵AB=BC，BD=CF，AD=BH，△BCF的周長和△ABD的周長差為3，
∴FH=3，
∴BH=AD=5，BF=8，
當∠ADC=60°時，△FCH是等邊三角形，
∴FC=FH=HC=BD=3，
過點B作CF⊥BF交延長線于P，
∴FP=BF=4，CP=PF-FC=1，
∴BP=4，
∴BC==7=AB，
由△ABD∽△BED，
∴DE：BD=BD：AD=BE：AB，
∴==
解得：DE=1.8，BE=4.2，
由D、G關于過E點直線對稱，得EG=DE=1.8，BG=BE+EG=6，
作GQ⊥CF于Q，
∵∠BFC=60°，FG=2，
∴FQ=1，QG=
∴GC===．
點評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質以及勾股定理和銳角三角函數關系等知識，正確作出輔助線利用相似三角形的性質得出DE，BE的長是解題關鍵．