Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線交軸于，兩點，與軸交于點.連接.

（1）求拋物線的解析式和點的坐標；

（2）“若點為第四象限內拋物線上一動點，點的橫坐標為，的面積為，求關于的函數關系式，并求出的最大值；

（3）拋物線的對稱軸上是否存在點，使為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）當時，的最大值為；（3）拋物線的對稱軸上存在點，使為等腰三角形，點的坐標為，，,或

【解析】

（1）把，代入得到關于b,c的二元一次方程組，解方程組即可求出拋物線的解析式，再令x=0，即可求出y的值，從而得到C的坐標；

（2）連接OD，則，分別用含x的式子表示出這三個三角形的面積，從而得到s與x的函數關系式；

（3）分情況進行討論即可.

解：（1）把，代入，得

，解得

∴拋物線的解析式為

當時，

∴

（2）∵點的橫坐標為，在拋物線上

∴點的縱坐標為

∴

∵點在第四象限

∴，

如圖，連接

∵

∵，

∴當時，的最大值為

（3）拋物線的對稱軸上存在點，使為等腰三角形，點的坐標為，，,或.理由如下：

∵B(3,0),C(0,-3),

∴BC=3 ,

∵拋物線的對稱軸是x=1,

∴OD=1,BD=OB-OD=2.

①當BP=BC時，如圖1，

∵拋物線的對稱軸是x=1,

∴OD=1,BD=OB-OD=2.

在Rt△BPD中，

PD=

=

=

∴此時點P的坐標為或.

② 當CP=BC=3 時，如圖2，

在Rt△CPE中，PE==

∴此時點P的坐標為，.

③當CP=BP時，如圖3，

∵OB=OC,OP⊥BC，

∴∠BOP=45°，

∵∠ODP=90°，

∴∠DOP=∠OPD=45°，

∴PD=OD=1,

∴此時點P的坐標為，

綜上所述，拋物線的對稱軸上存在點，使為等腰三角形，點的坐標為，，,或.