Question

【題目】如圖，已知二次函數的圖象與軸交于、兩點（點在點的左側），與軸交于點，且，頂點為．

（1）求二次函數的解析式；

（2）點為線段上的一個動點，過點作軸的垂線，垂足為，若，四邊形的面積為，求關于的函數解析式，并寫出的取值范圍；

（3）探索：線段上是否存在點，使為等腰三角形？如果存在，求出點的坐標；如果不存在，請說呀理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，， .

【解析】

（1）可根據OB、OC的長得出B、C兩點的坐標，然后用待定系數法即可求出拋物線的解析式．
（2）可將四邊形ACPQ分成直角三角形AOC和直角梯形CQPC兩部分來求解．先根據拋物線的解析式求出A點的坐標，即可得出三角形AOC直角邊OA的長，據此可根據上面得出的四邊形的面積計算方法求出S與m的函數關系式．
（3）先根據拋物線的解析式求出M的坐標，進而可得出直線BM的解析式，據此可設出N點的坐標，然后用坐標系中兩點間的距離公式分別表示出CM、MN、CN的長，然后分三種情況進行討論：①CM=MN；②CM=CN；③MN=CN．根據上述三種情況即可得出符合條件的N點的坐標．

解：（1）∵，∴，．∴，

解得，∴二次函數的解析式為；

（2），

設直線的解析式為，則有解得

∴直線的解析式為

∵軸，，∴點的坐標為

；

（3）線段上存在點， 使為等腰三角形。設點坐標為則：

，，

①當時，解得，（舍去）

此時

②當時，，

解得，（舍去），此時

③當時，

解得，此時．