Question

6．在菱形ABCD中，P、Q分別是邊BC、CD的中點，連接AP、AQ

（1）如圖（1），求證：AP=AQ；
（2）如圖（2），連接PQ，若∠B=60°，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖中所有余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{2}$的角．

Answer 1

分析 （1）證明AP和AQ所在的△ABP和△ADQ全等即可；
（2）由特殊角的銳角三角函數可知余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{2}$的角為30°，所以求出圖形中為30°的角即可．

解答 解：
（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D，
∵P、Q分別是邊BC、CD的中點，
∴BP=CQ，
在△ABP和△ADQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠B=∠D}\\{BP=DQ}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△ADQ（SAS），
∴AP=AQ，
（2）因為∠B=60°，所以可求出∠BAP=∠DAQ=30°，∠CPQ=∠CQP=30，
即∠BAP，∠DAQ，∠CPQ，∠CQP余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查了菱形的性質、全等三角形的判斷和性質以及特殊角的銳角三角函數，熟記菱形的各種性質是解題的關鍵．