Question

（2004•武漢）已知：如圖，⊙O₁與⊙O₂外切于C點，AB一條外公切線，A、B分別為切點，連接AC、BC．設⊙O₁的半徑為R，⊙O₂的半徑為r，若tan∠ABC=，則的值為（ ）

A．
B．
C．2
D．3

Answer 1

【答案】分析：根據切線長定理先證明∠ACB=90°，得直角三角形ABC；再由tan∠ABC==，得兩圓弦長的比；進一步求半徑的比．
解答：解：如圖，連接O₂B，O₁A，過點C作兩圓的公切線CF，交于AB于點F，作O₁E⊥AC，O₂D⊥BC，
由垂徑定理可證得點E，點D分別是AC，BC的中點，
由弦切角定理知，
∠ABC=∠FCB=∠BO₂C，∠BAC=∠FCA=∠AO₁C，
∵AO₁∥O₂B，
∴∠AO₁C+∠BO₂C=180°，
∴∠FCB+∠FCA=∠ACB=90°，
即△ACB是直角三角形，
∴∠ABC=∠BO₂D=∠ACO₁，
設∠ABC=∠BO₂D=∠ACO₁=β，
則有sinβ=，cosβ=，
∴tanβ=•=•，
∴（tanβ）²==2．
故選C．
點評：本題綜合性較強，綜合了圓的有關知識，所以學生所學的知識要系統起來，不可單一．