Question

如圖，一次函數的函數圖象與x軸、y軸分別交于點A、B，以線段AB為直角邊在第一象限內作Rt△ABC，且使∠ABC=30°．
（1）求△ABC的面積；
（2）如果在第二象限內有一點P（m，），試用含m的代數式表示△APB的面積，并求當△APB與△ABC面積相等時m的值；
（3）是否存在使△QAB是等腰三角形并且在坐標軸上的點Q？若存在，請寫出點Q所有可能的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出A、B兩點的坐標，再由一個角等于30°，求出AC的長，從而計算出面積；
（2）過P作PD⊥x軸，垂足為D，先求出梯形ODPB的面積和△AOB的面積之和，再減去△APD的面積，即是△APB的面積；根據△APB與△ABC面積相等，求得m的值；
（3）假設存在點Q，使△QAB是等腰三角形，求出Q點的坐標即可．
解答：解：
（1）∵一次函數的解析式為函數圖象與x軸、y軸分別交于點A、B，
∴A（1，0），B（0，），
∴AB=2，
設AC=x，則BC=2x，由勾股定理得，4x²-x²=4，
解得x=，S_△ABC==；

（2）過P作PD⊥x軸，垂足為D，
S_△APB=S_梯形ODPB+S_△AOB-S_△APD==，
-=，解得m=；

（3）∵AB==2，
∴當AQ=AB時，點Q₁（3，0），Q₂（-1，0），Q₃（0，-）；
當AB=BQ時，點Q₄（0，+2），Q₂（0，-2），Q₂（-1，0）；
當AQ=BQ時，點Q₆（0，），Q₂（-1，0），
綜上可得：（0，），（0，），（-1，0）（3，0），（0，），（0，）
點評：此題主要考查平面直角坐標系中圖形的面積的求法．解答此題的關鍵是根據一次函數的特點，分別求出各點的坐標再計算．