Question

如圖，A，B，C為⊙O上相鄰的三個n等分點，，點E在上，EF為⊙O的直徑，將⊙O沿EF折疊，使點A與A′重合，點B與B′重合，連接EB′，EC，EA′．設EB′=b，EC=c，EA′=p．現探究b，c，p三者的數量關系：發現當n=3時，p=b+c．請繼續探究b，c，p三者的數量關系：當n=4時，p=      ；當n=12時，p=      ．

（參考數據：，）

 

Answer 1

【答案】

c+b；c+b。

【解析】如圖，連接AB、AC、BC，

由題意，點A、B、C為圓上的n等分點，

∴AB=BC，（度）。

在等腰△ABC中，過頂點B作BN⊥AC于點N，

則AC=2CN=2BC•cos∠ACB=2cos•BC，

∴。

連接AE、BE，在AE上取一點D，使ED=EC，連接CD，

∵∠ABC=∠CED，

∴△ABC與△CED為頂角相等的兩個等腰三角形。

∴△ABC∽△CED。∴，∠ACB=∠DCE。

∵∠ACB=∠ACD+∠BCD，∠DCE=∠BCE+∠BCD，∴∠ACD=∠BCE。

在△ACD與△BCE中，∵，∠ACD=∠BCE，∴△ACD∽△BCE。

∴。∴。

∴EA=ED+DA=EC+。

由折疊性質可知，p=EA′=EA，b=EB′=EB，c=EC。

∴p=c+。

當n=4時，p=c+2cos45°•b=c+b；

當n=12時，p=c+2cos15°•b=c+b。