Question

如圖，正方形ABCDE的邊長為4，E是正方形ABCD的邊DC上的一點，過A作AF⊥AE，交CB延長線于點F．
（1）求證：△ADE≌△ABF；
（2）試判斷△AEF的形狀，并說明理由；
（3）若DE=1，求△AFE的面積．

Answer 1

分析：（1）由AF⊥AE，易得∠FAB+∠BAE=90°，而∠DAE+∠BAE=90°，那么易求∠FAB=∠DAE，再結合AB=AD，∠ABF=∠D=90°，可證△ADE≌△ABF；
（2）△AEF是等腰直角三角形，由（1）知△ADE≌△ABF，利用全等三角形的性質可知AF=AE，而∠FAE=90°，即可判斷△AEF的形狀；
（3）由于AD=4，DE=1，利用勾股定理可求AE=

17

，那么利用直角三角形面積公式可求△AEF的面積．

解答：（1）解：∵AF⊥AE，
∴∠FAE=90°，
即∠FAB+∠BAE=90°，
又∵正方形ABCD中，∠BAD=90°，
即∠DAE+∠BAE=90°，
∴∠FAB=∠DAE，
又∵AB=AD，∠ABF=∠D=90°，
∴△ADE≌△ABF；

（2）解：等腰直角三角形，
∵△ADE≌△ABF，
∴AF=AE，
又∵∠FAE=90°，
∴△AEF等腰直角三角形；

（3）解：∵AD=4，DE=1，
∴AE=

AD2+DE2

=

42+12

=

17

，
∴S_△AEF=

1

2

×AE×AF=

1

2

×

17

×

17

=

17

2

．
∴△AFE的面積為

17

2

．

點評：本題考查了全等三角形的判定和性質、等腰直角三角形的判定、勾股定理、三角形面積公式．解題的關鍵是求出∠FAB=∠DAE．