Question

是否存在非負整數a，b，使得|3^a-2^b|=41成立？若存在，求出a，b；若不存在，說明理由．

Answer 1

直接驗證a，b沒有0，
①若3^a-2^b=41→-（-1）^b≡-1（mod 3）→b是偶數→b≥2→（-1）^a≡1（mod 4）→a是偶數，
設a=2x，b=2y，（x，y是正整數）
（3^x-2^y）（3^x+2^y）=41→3^x-2^y=1，3^x+2^y=41，易知無正整數解．
②若2^b-3^a=41→b是奇數，2^b=41→b≥6．又-（-1）^a≡1（mod 4）→a是奇數．
顯然a不等于1，
于是a≥3，設a=2z+1（z為正整數）
-9^b×3≡41（mod 8）→-3≡41（mod 8），矛盾．
綜上所述，方程沒有非負整數解．