Question

已知，紙片⊙O的半徑為2，如圖1，沿弦AB折疊操作．
（1）如圖2，當折疊后的經過圓心O時，求的長；
（2）如圖3，當弦AB=2時，求折疊后所在圓的圓心O′到弦AB的距離；
（3）在圖1中，再將紙片⊙O沿弦CD折疊操作．
①如圖4，當AB∥CD，折疊后的與所在圓外切于點P時，設點O到弦AB、CD的距離之和為d，求d的值；
②如圖5，當AB與CD不平行，折疊后的與所在圓外切于點P時，設點M為AB的中點，點N為CD的中點．試探究四邊形OMPN的形狀，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）如圖2，過點O作OE⊥AB交⊙O于點E，連接OA、OB、AE、BE，可得△OAE、△OBE為等邊三角形，從而得到的圓心角，再根據弧長公式計算即可；
（2）如圖3，連接O′A、O′B，過點O′作O′E⊥AB于點E，可得△AO′B為等邊三角形，根據三角函數的知識可求折疊后所在圓的圓心O^′到弦AB的距離；
（3）①如圖4，與所在圓外切于點P時，過點O作EF⊥AB交于點E，交于點F，根據垂徑定理及折疊，可求點O到AB、CD的距離之和；
②根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可得證．
解答：解：（1）如圖2，過點O作OE⊥AB交⊙O于點E，連接OA、OB、AE、BE
∵點E與點O關于AB對稱
∴△OAE、△OBE為等邊三角形；…1分
∴∠OEA=∠OEB=60°
∴==；…2分

（2）如圖3，連接O′A、O′B，
∵折疊前后所在的⊙O與⊙O^′是等圓，
∴O′A=O′B=OA=AB=2
∴△AO′B為等邊三角形；…3分
過點O′作O′E⊥AB于點E
∴O′E=O′B•sin60°=；…4分

（3）①如圖4，與所在圓外切于點P時，
過點O作EF⊥AB交于點E，交于點F，
∵AB∥CD，
∴EF垂直平分CD、且必過點P，…5分
根據垂徑定理及折疊，可知，…6分
又∵EF=4，
∴點O到AB、CD的距離之和為：
d=PH+PG=；…7分
②如圖5，當AB與CD不平行時，
四邊形OMPN是平行四邊形…8分
證明如下：
設O′、O″為和所在圓的圓心，
由折疊可知：O′與O關于AB對稱，O″與O關于CD對稱，
∴M為OO′的中點，N為OO″的中點；…9分
∵所在圓外切，
∴連心線O′O″必過點P，
∵所在圓與⊙O都是等圓，
∴O′P=O″P=2；
∴；
∴四邊形OMPN是平行四邊形．
點評：綜合考查了相切兩圓的性質，等邊三角形的判定與性質，平行四邊形的判定，垂徑定理，弧長的計算，翻折變換（折疊問題），解直角三角形，綜合性較強，難度較大．