Question

4．如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，AD，AB，BC分別與⊙O相切于E，F，G三點，過點D作⊙O的切線交BC于點M，切點為N，則DM的長為$\frac{13}{3}$．

Answer 1

分析 連接OE，OF，ON，OG，在矩形ABCD中，得到∠A=∠B=90°，CD=AB=4，由于AD，AB，BC分別與⊙O相切于E，F，G三點，得到∠AEO=∠AFO=∠OFB=∠BGO=90°，推出四邊形AFOE，FBGO是正方形，得到AF=BF=AE=BG=2，由勾股定理列方程即可求出結果．

解答 解：連接OE，OF，ON，OG，
在矩形ABCD中，
∵∠A=∠B=90°，CD=AB=4，
∵AD，AB，BC分別與⊙O相切于E，F，G三點，
∴∠AEO=∠AFO=∠OFB=∠BGO=90°，
∴四邊形AFOE，FBGO是正方形，
∴AF=BF=AE=BG=2，
∴DE=3，
∵DM是⊙O的切線，
∴DN=DE=3，MN=MG，
∴CM=5-2-MN=3-MN，
在R_t△DMC中，DM²=CD²+CM²，
∴（3+NM）²=（3-NM）²+4²，
∴NM=$\frac{4}{3}$，
∴DM=3+$\frac{4}{3}$=$\frac{13}{3}$．
故答案為$\frac{13}{3}$．

點評 本題考查了切線的性質，勾股定理，正方形的性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵．