Question

如圖，⊙O和⊙O′相交于A、B兩點，AC是⊙O的直徑交⊙O′于點D，CB的延長線交⊙O′于點E，如果AC=4，BE=10，BC=AD，則DE=

6

3

，∠E=

30°

．

Answer 1

分析：首先連接AB，由AC是⊙O的直徑，可得∠ABC=90°，易證得△ABC∽△EDC，然后由相似三角形的對應邊成比例，可求得BC，CD，CE的長，又由勾股定理求得DE的長，由特殊角的三角函數值，可求得∠E的度數．

解答：解：連接AB，
∵AC是⊙O的直徑，
∴∠ABC=90°，
∴∠ABE=90°，
∴∠D=180°-∠ABE=90°，
∴∠ABC=∠D，
∴△ABC∽△EDC，
∴

AC

CE

=

BC

CD

，
設BC=x，則AD=BC=x，CE=BC+BE=10+x，CD=AC+AD=4+x，
∴

4

10+x

=

x

4+x

，
解得：x₁=2，x₂=-8（舍去），
∴BC=AD=2，CD=6，CE=12，
在Rt△CDE中，DE=

CE2-CD2

=6

3

；
∵sin∠E=

CD

CE

=

1

2

，
∴∠E=30°．
故答案為：6

3

，30°．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、勾股定理、相交圓的性質以及特殊角的三角函數問題．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用．