Question

（1）BO、CO分別平分∠ABC和∠ACB，設∠A=n°（n為已知數）求∠O的度數；
（2）BO、CO分別是△ABC兩外角的平分線，設∠A=n°（n為已知數）求∠O的度數；
（3）BO、CO分別平分∠ABC和∠ACD，設∠A=n°（n為已知數）求∠O的度數．

Answer 1

分析：（1）先根據三角形的內角和定理求出∠ABC+∠ACB，再根據角平分線的定義求出∠OBC+∠OCB，然后根據三角形的內角和定理列式計算即可得解；
（2）根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和以及角平分線的定義表示出∠OBC和∠OCB，然后根據三角形的內角和定理列式整理即可得解；
（3）根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和列式表示出∠ACD和∠OCD，再根據角平分線的定義表示出∠OBC和∠OCD，然后整理即可得解．

解答：解：（1）根據三角形內角和定理，∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-n°，
∵BO、CO分別平分∠ABC和∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=

1

2

（∠ABC+∠ACB）=

1

2

（180°-n°）=90°-

1

2

n°，
在△OBC中，∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（90°-

1

2

n°）=90°+

1

2

n°；

（2）根據三角形的外角性質，以及角平分線的定義，
∠OBC=

1

2

（∠A+∠ACB），∠OCB=

1

2

（∠A+∠ABC），
∴∠OBC+∠OCB=

1

2

（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）=

1

2

（180°+∠A）=90°+

1

2

n°，
在△OBC中，∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（90°+

1

2

n°）=90°-

1

2

n°；

（3）根據三角形的外角性質，∠ACD=∠A+∠ABC，∠OCD=∠O+∠OBC，
∵BO、CO分別平分∠ABC和∠ACD，
∴∠OBC=

1

2

∠ABC，∠OCD=

1

2

∠ACD，
∴∠O+

1

2

∠ABC=

1

2

（∠A+∠ABC），
∴∠O=

1

2

∠A=

1

2

n°．

點評：本題考查了三角形的內角和定理，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和的性質，以及角平分線的定義．