Question

如圖，拋物線與直線AB交于點(diǎn)A（-1，0），B（4，）．點(diǎn)D是拋物線A，B兩點(diǎn)間部分上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），直線CD與y軸平行，交直線AB于點(diǎn)C，連接AD，BD．
（1）求拋物線的解析式；
（2）①當(dāng)D為拋物線頂點(diǎn)時(shí)，線段DC的長度是多少？
②設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，△ADB的面積為S，求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值．

Answer 1

解：（1）由題意得
解得：
故拋物線解析式為：y=-x²+2x+；

（2）①∵y=-x²+2x+=-（x-2）²+，
∴頂點(diǎn)
設(shè)直線AB為：y=kx+b，
則有
解得
∴直線解析式為：，
當(dāng)x=2時(shí)，y=×2+=，
∴
∴，

②由題意可得：D（m，），C（m，），
CD=（）-（）
=．
∴
=×CD
=×（）
=-m²+m+5
=-（m-）²+．
∵，
∴當(dāng)時(shí)，S最大值為．
分析：（1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可得出答案；
（2）①利用配方法求出D點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得出AB解析式，得出C點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出CD即可；
②由題意可得：D（m，），C（m，），進(jìn)而利用△ADB的面積為△ADC的面積+△CDB的面積，求出即可．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式和三角形面積求法等知識(shí)，利用AB解析式得出C點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．