Question

如圖，拋物線與直線AB交于點A（-1，0），B（4，）．點D是拋物線A，B兩點間部分上的一個動點（不與點A，B重合），直線CD與y軸平行，交直線AB于點C，連接AD，BD．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設點D的橫坐標為m，△ADB的面積為S，求S關于m的函數關系式，并求出當S取最大值時的點C的坐標；
（3）當點D為拋物線的頂點時，若點P是拋物線上的動點，點Q是直線AB上的動點，判斷有幾個位置能使以點P，Q，C，D為頂點的四邊形為平行四邊形，直接寫出相應的點Q的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）把點A、B的坐標分別代入函數解析式列出關于a、b的方程組，通過解方程組即可求得系數a、b的值；
（2）如圖1，過點B作BF⊥DE于點F．則S=CD•（AE+BF）=-（m-）²+，所以當m=時，S取最大值；
（3）需要分類討論：①如圖2，當PQ∥DC，PQ=DC時．②如圖3，當CD∥PQ，且CD=PQ時．③如圖4，當PC∥DQ，且PC=DQ時．
分別求得這三種情況下的點Q的坐標．
解答：解：（1）∵拋物線與直線AB交于點A（-1，0），B（4，）．
∴，
解得，，
∴拋物線的解析式是y=-x²+2x+

（2）如圖1，過點B作BF⊥DE于點F．
∵點A（-1，0），B（4，），
∴易求直線AB的解析式為：y=x+．
又∵點D的橫坐標為m，
∴點C的坐標是（m，m+），點D的縱坐標是（-m²+2m+）
∴AE=m+1，BF=4-m，CD=-m²+m+2，
∴S=CD•（AE+BF）=×（-m²+m+2）×（m+1+4-m）=-（m-）²+（-1＜m＜4）．
∴當m=時，S取最大值，此時C（，）；

（3）假設存在這樣的點P、Q使以點P，Q，C，D為頂點的四邊形為平行四邊形．
∵點D是拋物線的頂點，
∴D（2，），C（2，）．
①如圖2，當PQ∥DC，PQ=DC時．
設P（x，-x²+2x+），則Q（x，x+），
∴-x²+2x+-x-=3，
解得，x=1或x=2（舍去），
∴Q（1，1）；
②如圖3，當CD∥PQ，且CD=PQ時．
設P（x，-x²+2x+），則Q（x，x+），
∴x++x²-2x-=3，
解得，x=5或x=-2，
∴Q（5，3）、Q′（-2，-）；
③如圖4，當PC∥DQ，且PC=DQ時．
過點P作PE⊥CD于點E，過點Q作QF⊥CD于點F．則PE=QF，DE=FC．
設P（x，-x²+2x+），則E（2，-x²+2x+），
∴Q（4-x，-x），F（2，-x），
∴由DE=CF得，-（-x²+2x+）=-x-，
解得，x=1或x=2（舍去），
∴Q（3，2）
綜上所述，符合條件的點Q的坐標有：（1，1）、（5，3）、（-2，-）、（3，2）．
點評：本題考查了二次函數綜合題．其中涉及到的知識點有待定系數法求二次函數的解析式，拋物線的性質以及最值的求解方法．解答（3）題時要分類討論．