Question

【題目】如圖1是“東方之星”救援打撈現場圖，小紅據此構造出一個如圖2所示的數學模型，已知：A、B、D三點在同一水平線上，CD⊥AD，∠A=30°，∠CBD=75°，AB=60m．

（1）求點B到AC的距離.
（2）求線段CD的長度．

Answer 1

【答案】
（1）

解：過點B作BE⊥AC于點E，

在Rt△AEB中，AB=60m，sinA=，BE=ABsinA=60×=30，cosA=，

∴AE=60×=30m，

在Rt△CEB中，∠ACB=∠CBD﹣∠A=75°﹣30°=45°，

∴BE=CE=30m

∴點B到AC的距離為30m.

（2）

解：

過點B作BE⊥AC于點E，

在Rt△AEB中，AB=60m，sinA=，BE=ABsinA=60×=30，cosA=，

∴AE=60×=30m，

在Rt△CEB中，∠ACB=∠CBD﹣∠A=75°﹣30°=45°，

∴BE=CE=30m，

∴AC=AE+CE=（30+30）m，

在Rt△ADC中，sinA=，

則CD=（30+30）×=（15+15）m．

【解析】過點B作BE⊥AC于點E，在直角三角形AEB中，利用銳角三角函數定義求出AE的長，在直角三角形CEB中，利用銳角三角函數定義求出BE與CE的長，由AE+CE求出AC的長，即可求出CD的長．
此題考查了構造直角三角形利用三角函數求線段長的知識點.