Question

已知函數f（x）=（

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）^x-log₃x，正實數a，b，c是公差為正實數的等差數列，且滿足f（a）•f（b）•f（c）＞0；已知命題P：實數d是函數y=f（x）的一個零點；則下列四個命題：①d＜a；②d＞b；③d＜c；④d＞c中是命題P的必要不充分條件的命題個數為（　�。�

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：根據函數的單調性，結合數列是等差數列，設出a，b，c的關系，推出a，b，c，d的大小關系，利用函數的零點，推出d的范圍，然后通過充要條件的判斷方法，得到選項．

解答：解：f（x）=（

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）^x-log₃x，是由y=（

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）^x 和 y=-log₃x，
兩個函數中，每個函數都是減函數，所以，函數f（x）為減函數．
∵正實數a，b，c是公差為正數的等差數列，
∴不妨設a＜b＜c
∵f（a）f（b）f（c）＞0
則f（a）＞0，f（b）＜0，f（c）＜0   或者f（a）＞0，f（b）＞0，f（c）＞0
綜合以上兩種可能，恒有 f（a）＞0，∴a∈（0，1），b＞1，c＞1，
實數d是函數y=f（x）的一個零點；（

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）^d=log₃d，d∈（0，1）．
所以只有③d＜c；正確．
四個命題：①d＜a；②d＞b；③d＜c；④d＞c中是命題P的必要不充分條件的命題個數為1．
故選A．

點評：本題考查指數函數與對數函數的基本性質，正確估計函數值與a，b，c的大小關系是解題的關鍵，考查計算能力，邏輯推理能力．