設函數
，證明：
（Ⅰ）對每個
，存在唯一的
，滿足
；
（Ⅱ）對任意
，由（Ⅰ）中
構成的數列
滿足
.
見解析
【解析】（1）對每個
，當
時，
，
則
在
內單調遞增，
而
，當
時，
，
故
，
又
所以對每個，存在唯一的
，滿足
當時，
，并由（1）知
由
在內單調遞增知，
，故
為單調遞減數列，
從而對任意
,
對任意
，
①
②
①
②并移項，利用
，得
因此，對任意，
.
本題考查的是數列函數，而且含雙變量，考生在做題的過程中需要冷靜的處理好每個變量.第（1）題考查函數的零點問題，要證明對每個，函數在某個區間上只有一個零點，一方面要證明函數是單調的，求導即可，另一方面要判斷
的正負問題，此題難點在于判斷
的正負時，要利用放縮的思想，將這個數列函數放縮到可以利用等比數列求和，從而證明此函數在指定區間內只有一個零點；第（2）題要將數列從數列函數中分離出來，就要通過函數的單調性，由，在內單調遞增，確定，則不等式左半邊成立，右半邊通過作差，數列放縮確定最終.本題屬于較難題.
【考點定位】考查函數的導數及其應用，函數零點的判定，等比數列的求和，不等式的放縮等知識.
新思維假期作業暑假吉林大學出版社系列答案
藍天教育暑假優化學習系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
（04年廣東卷）（12分）
設函數
(I)證明：當
且
時，
(II)點
（0<x0<1）在曲線
上，求曲線上在點
處的切線與
軸，
軸正向所圍成的三角形面積的表達式。（用
表示）
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科目：高中數學 來源：2012-2013學年江蘇省高三上學期期中考試數學試卷（解析版） 題型：解答題
設函數
.
(1)證明:
是奇函數;
(2)求的單調區間;
(3)寫出函數
圖象的一個對稱中心.
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科目：高中數學 來源：2013屆北京西城（南區）高二下學期期末考試理科數學試卷（解析版） 題型：解答題
（Ⅰ）設函數
，證明：當
時，
；
（Ⅱ）從編號1到100的100張卡片中每次隨機抽取一張，然后放回，用這種方式連續抽取20次，設抽得的20個號碼互不相同的概率為
。證明：
。
注：可用（Ⅰ）的結論。
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，證明：
，存在唯一的
，滿足
；
，由（Ⅰ）中
構成的數列
滿足
。