Question

已知橢圓C的焦點分別為F₁（-2

2

，0）和F₂（2

2

，0），長軸長為6，設直線y=x+2交橢圓C于A、B兩點．求：線段AB的中點坐標．

Answer 1

分析：先求橢圓的方程，設橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，根據條件可知a=3，c=2

2

，同時求得b=

a2-c2

，得到橢圓方程，由直線y=x+2交橢圓C于A、B兩點，兩方程聯立，由韋達定理求得其中點坐標．

解答：解：設橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，
由題意a=3，c=2

2

，
b=

a2-c2

=1．（3分）
∴橢圓C的方程為

x2

9

+y²=1．（5分）
聯立方程組

y=x+2 x2 9 +y2=1

，消y得10x²+36x+27=0，
因為該二次方程的判別式△＞0，所以直線與橢圓有兩個不同的交點，（9分）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-

18

5

，
故線段AB的中點坐標為（-

9

5

，

1

5

）．（12分）

點評：本題主要考查橢圓的性質及直線與橢圓的位置關系，要注意通性通法，即聯立方程，看判別式，韋達定理的應用，同時也要注意一些細節，如相交與兩點，要轉化為判別式大于零來反映．