Question

已知橢圓C的焦點(diǎn)分別為F₁（-2，0）和F₂（2，0），長軸長為6，設(shè)直線y=x+2交橢圓C于A、B兩點(diǎn)．求：線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：先求橢圓的方程，設(shè)橢圓C的方程為+=1，根據(jù)條件可知a=3，c=2，同時(shí)求得b=，得到橢圓方程，由直線y=x+2交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，兩方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理求得其中點(diǎn)坐標(biāo)．
解答：解：設(shè)橢圓C的方程為+=1，
由題意a=3，c=2，
b==1．（3分）
∴橢圓C的方程為+y²=1．（5分）
聯(lián)立方程組，消y得10x²+36x+27=0，
因?yàn)樵摱�次方程的判別式△＞0，所以直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，（9分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-，
故線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（-，）．（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓的性質(zhì)及直線與橢圓的位置關(guān)系，要注意通性通法，即聯(lián)立方程，看判別式，韋達(dá)定理的應(yīng)用，同時(shí)也要注意一些細(xì)節(jié)，如相交與兩點(diǎn)，要轉(zhuǎn)化為判別式大于零來反映．