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如圖,在△OBC中,點O為坐標原點,點C坐標為(4,0),點B坐標為(2,數學公式),AB⊥y軸,點A為垂足,OH⊥BC,點H為垂足.動點P、Q分別從點O、A同時出發,點P沿線段OH向點H運動,點Q沿線段AO向點O運動,速度都是每秒1個單位長度.設點P的運動時間為t秒.
(1)求證:OB=CB;
(2)若△OPQ的面積為S,求S與t之間的函數關系式及定義域;
(3)當PQ⊥OB(垂足為點M)時,求五邊形ABHPQ的面積的值.

解:(1)∵OB==4,
CB==4,
∴OB=CB;

(2)易證:△OBC為等邊三角形,
∵OH⊥BC,
∴∠BOH=∠HOC=30°,
∴∠AOB=30°,
過點P作PE⊥OA垂足為點E,
在Rt△PEO中,∠EPO=30°,PO=t,
∴EO=PO=,由勾股定理得:
又∵OQ=AO-AQ=-t,
∴S=OQ•PE=-t)•=
即:S=(0<t<).

(3)易證Rt△OAB≌Rt△OHB≌Rt△OHC,
∴S四邊形OABH=S△OAB+S△OHB=S△OHB+S△OHC=S△OBC=×4×=4
易證△OPQ為等邊三角形,
∴OQ=OP,
即:=t,解得t=
∴S△OPQ=OP×OP=
∴S五邊形ABHPQ=S四邊形OABH-S△OPQ=4-=
分析:(1)根據勾股定理,易得OB=CB;
(2)由題意,∠BOH=∠HOC=30°,則可得∠AOB=30°,過點P作PE⊥OA垂足為點E,在Rt△PEO中,∠EPO=30°,PO=t,EO=PO=,由勾股定理可得;OQ=AO-AQ=-t,即可求出函數關系式及定義域;
(3)由題意可得,Rt△OAB≌Rt△OHB≌Rt△OHC,△OPQ為等邊三角形,所以,S四邊形OABH=S△OBC=×4×=4,由OP=OQ,可得S△OPQ=OP×OP=,面積差即為五邊形ABHPQ的面積.
點評:本題主要考查等邊三角形、全等三角形的判定與性質和勾股定理,由已知判定三角形OPQ為等邊三角形是解答本題的關鍵.
練習冊系列答案
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科目:初中數學 來源: 題型:

如圖,在△OBC中,點O為坐標原點,點C坐標為(4,0),點B坐標為(2,2
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),AB⊥y軸,點A為垂足,OH⊥BC,點H為垂足.動點P、Q分別從點O、A同時出發,點精英家教網P沿線段OH向點H運動,點Q沿線段AO向點O運動,速度都是每秒1個單位長度.設點P的運動時間為t秒.
(1)求證:OB=CB;
(2)若△OPQ的面積為S,求S與t之間的函數關系式及定義域;
(3)當PQ⊥OB(垂足為點M)時,求五邊形ABHPQ的面積的值.

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科目:初中數學 來源: 題型:

如圖:在⊙O中,△ABC內接于⊙O,若∠OBC=15°,則∠A=
75°
75°

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科目:初中數學 來源: 題型:

如圖,在△OBC中,∠OBC=90°,以O為圓心,OB為半徑與BO的延長線交于點E,過點E作ED∥OC交于D點,直線CD、BE交于點A.
(1)試判斷直線AC與⊙O的位置關系,并證明你的結論;
(2)若半徑為3,DC=6,求AE的長.

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科目:初中數學 來源: 題型:解答題

如圖,在△OBC中,∠OBC=90°,以O為圓心,OB為半徑與BO的延長線交于點E,過點E作ED∥OC交于D點,直線CD、BE交于點A.
(1)試判斷直線AC與⊙O的位置關系,并證明你的結論;
(2)若半徑為3,DC=6,求AE的長.

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