Question

如圖，在△OBC中，∠OBC=90°，以O為圓心，OB為半徑與BO的延長線交于點E，過點E作ED∥OC交于D點，直線CD、BE交于點A．
（1）試判斷直線AC與⊙O的位置關系，并證明你的結論；
（2）若半徑為3，DC=6，求AE的長．

Answer 1

解：（1）直線AC與⊙O相切．理由如下：
連接OD，
∵ED∥OC，
∴∠DOC=∠ODE，∠BOC=∠OED，
∵OD=OE，
∴∠ODE=∠OED，
∴∠BOC=∠DOC，
在△BOC和△DOC中，
，
∴△BOC≌△DOC（SAS），
∴∠ODC=∠OBC=90°，
∴直線AC是⊙O的切線；

（2）∵△BOC≌△DOC，
∴∠BCO=∠DCO，BD⊥OC，
∵∠OBD+∠BOC=∠BOC+∠OCB=90°，
∴∠OBD=∠OCD，
∴tan∠OBD=tan∠OCD，
即，
∵∠ADE+∠ODE=∠ABD+∠OED=90°，∠ODE=∠OED，
∴∠ADE=∠ABD，
又∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABD，
∴，
設AE=x，則AD=2x，AO=3+x，
在Rt△ODA中，OD²+AD²=AO²，
即3²+（2x）²=（x+3）²，
解得：x=2，
即AE=2．
分析：（1）首先連接OD，易證得△BOC≌△DOC，然后由全等三角形的對應角相等，即可證得∠ODC=∠OBC=90°，即可得直線AC是⊙O的切線；
（2）由△BOC≌△DOC，易證得∠OBD=∠OCD，可得tan∠OBD=tan∠OCD，易證得△ADE∽△ABD，根據相似三角形的對應邊成比例，設AE=x，可得AD=2x，AO=3+x，然后由勾股定理即可求得AE的長．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、切線的判定、全等三角形的判定與性質、三角函數的定義以及勾股定理．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用．