Question

根據下列條件求拋物線的標準方程：
（1）拋物線的焦點是雙曲線 16x²-9y²=144的左頂點；
（2）過點P（2，-4）．

Answer 1

分析：（1）將雙曲線化成標準方程，得到它的左頂點為（-3，0），結合題意得到拋物線的焦點為F（-3，0），由此即可算出拋物線的標準方程；
（2）根據點P（2，-4）在第四象限，得到拋物線開口向右或開口向下，由此設出拋物線的標準方程并代入點P的坐標，解出焦參數p的值，即可得到所求拋物線的方程．

解答：解：（1）∵雙曲線16x²-9y²=144化成標準方程得

x2

9

-

y2

16

=144，
∴a²=9且b²=16，可得a=3且b=4，雙曲線的左頂點為（-3，0）．
又∵拋物線的焦點是雙曲線的左頂點，∴拋物線的開口向左，
設拋物線的方程為y²=-2px（p＞0），可得-

p

2

=-3，解得p=6．
因此，所求拋物線的方程為y²=-12x；
（2）根據點P（2，-4）在第四象限，可得拋物線開口向右或開口向下．
①當拋物線的開口向右時，設拋物線方程為y²=2px（p＞0），
將P的坐標代入，得（-4）²=2p×2，解之得p=4，
∴此時拋物線的方程為y²=8x；
②當拋物線的開口向右時，用類似于①的方法可得拋物線的方程為x²=-y．
綜上所述，所求拋物線的方程為y²=8x或x²=-y．

點評：本題給出拋物線滿足的條件，求拋物線的方程．著重考查了雙曲線的標準方程與基本概念、拋物線的標準方程及其簡單幾何性質等知識，屬于基礎題．