Question

根據下列條件求拋物線的標準方程．
（1）拋物線的焦點是雙曲線16x²-9y²=144的左頂點；
（2）過點P（2，-4）；
（3）拋物線的焦點在x軸上，直線y=-3與拋物線交于點A，|AF|=5．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先求出雙曲線16x²-9y²=144的左頂點；進而根據拋物線是雙曲線的左定點，求得p，進而求出拋物線的標準方程．
（2）先設拋物線的標準方程為y²=mx，把點p代入方程，求得m進而的出拋物線的標準方程．
（3）設拋物線的標準方程y²=2px和點A（m，-3），根據拋物線的定義可求出m，進而求p得出拋物線的方程．
解答：解：（1）雙曲線方程化為-=1，左頂點為（-3，0），由題意設拋物線方程為y²=-2px（p＞0）且=-3，
∴p=6，
∴方程為y²=-12x．
（2）由于P（2，-4）在第四象限且拋物線的對稱軸為坐標軸，可設方程為y²=mx或x²=ny．
代入P點坐標求得m=8，n=-1，
∴所求拋物線方程為y²=8x或x²=-y．
（3）設所求焦點在x軸上的拋物線方程為
y²=2px（p≠0），A（m，-3），
由拋物線定義得5=|AF|=|m+|．
又（-3）²=2pm，
∴p=±1或p=±9，
故所求拋物線方程為y²=±2x或y²=±18x．
點評：本題主要考查拋物線的標準方程的問題．常利用待定系數法和定義法求得標準方程．