Question

已知等式

1

15

=

1

A

+

1

B

，其中A，B是非零自然數(shù)，求A+B的最大值．

Answer 1

分析：求A+B的最大值，就是使A和B要盡量大，因此

1

A

越接近

1

15

，則

1

B

越小，則B越大，A+B就越大，不妨設(shè)

1

A

=

1

16

，看看

1

15

能否拆成

1

16

+

1

B

的形式，通過拆分，由

1

15

=

1

16

+

1

240

，因此A=16，B=240，因此A+B=16+240=256．故A+B的最大值是256．

解答：解：求A+B的最大值，就是使A和B要盡量大，不妨設(shè)

1

A

=

1

16

，則

1

B

=

1

15

-

1

16

=

1

240

，即

1

15

=

1

16

+

1

240

，因此A+B=16+240=256．
答：A+B的最大值是256．

點評：此題也可這樣解答：設(shè)A=ka，B=kb，（a，b）=1，即有

1

3×5

=

1

ka

+

1

kb

=

a+b

k×a×b

，
因為（a，b）=1，所以有（a+b，b）=1和（a，a+b）=1，只能有a+b整除k．設(shè)k=m×（a+b），
則有A=m×（a+b）×a，B=m×（a+b）×b，A+B=m×（a+b）²，
因為

1

3×5

=

1

m×(a+b)×a

+

1

m×(a+b)×b

=

1

m×a×b

，
上式意味著m，a，b必須是15的約數(shù)．考慮到交換a和b的取值，不改變A+B的值．所以m，a，b可能的取值和A+B的值是：

m	1	1	3	5	15
a	3	1	1	1	1
b	5	15	5	3	1
A+B	64	256	108	80	60

答：A+B的最大值是256．