Question

【題目】設數列的首項為1，前n項和為，若對任意的，均有（k是常數且）成立，則稱數列為“數列”．

（1）若數列為“數列”，求數列的通項公式；

（2）是否存在數列既是“數列”，也是“數列”？若存在，求出符合條件的數列的通項公式及對應的k的值；若不存在，請說明理由；

（3）若數列為“數列”， ，設，證明： ．

Answer 1

【答案】（1）．（2）見解析；（3）見解析．

【解析】試題分析：（1）數列為“數列”，則，可得，兩式相減得： ，數列為等比數列，其通項公式為；（2）假設存在這樣的數列，則有，故有兩式相減得同理可得： ，可得，又，即，兩者矛盾，從而可得結果；（3）利用錯位相減思想，可得.

試題解析：（1）數列為“數列”，則

故，兩式相減得： ，又n=1時， ，所以，

故對任意的恒成立，即（常數），故數列為等比數列，其通項公式為．

（2）假設存在這樣的數列，則有，故有

兩式相減得： ，故有

同理由是“數列”可得： ，

所以對任意恒成立

所以，即，又，即，兩者矛盾，故不存在這樣的數列既是“數列”，也是“數列”．

（3）因為數列為“數列”，所以

所以

故有， ，又n=1時， ，故，滿足：

所以對任意正整數n恒成立，數列的前幾項為：1,2,3,5,8,

故

所以，

兩式相減得：

=，顯然，故，即．