Question

已知一個篩子的六個面上分別寫了六個不同的正整數，這六個正整數的和為60．現在對這個篩子進行這樣的操作：每次操作選取正方體的一個頂點，將包含這個頂點的三個面上的數字都加1，經過多次的操作后，這個正方形的所有面上的數字都相同了．滿足條件的不同的篩子有

 

種（六個面的數字選定后就算一種，不考慮這六個數字如何放在篩子上）．

Answer 1

分析：依次設上下左右前后原來的數字為a、b、c、d、e、f，設操作了（x+y）次后，這個數變得相同，其中x次操作中包含上面，y次操作中包含下面，操作結束后，上面與下面數字之和變為a+b+x+y；前后左右四個數字之和變為c+d+e+f+2（x+y）；由題意，c+d+e+f+2（x+y）=2（a+b+x+y）?c+d+e+f=2（a+b）．然后分別求出a+b，c+d，e+f的值，進而解決問題．

解答：解：依次設上下左右前后原來的數字為a、b、c、d、e、f，假設這組數符合要求，不妨設操作了（x+y）次后，這個數變得相同，其中x次操作中包含上面，y次操作中包含下面（顯然不可能有操作既不包含上面，也不包含下面）．操作結束后，上面與下面數字之和變為a+b+x+y；前后左右四個數字之和變為c+d+e+f+2（x+y）；
由題意，c+d+e+f+2（x+y）=2（a+b+x+y）?c+d+e+f=2（a+b）
解得：a+b=20．
同理：c+d=20，e+f=20．
由于20-1+19-2+18-3+17-4+16-5+15-6+14-7+13-8+12-9+11（10+10數字相同，舍去）．
于是，從9組中選取3組即可，共

C

3 9

=84種選法．
故答案為：84．

點評：此題解答起來有一定困難，注意設數，抓住“經過多次的操作后，這個正方形的所有面上的數字都相同了”這一條件，列式推算．