Question

如圖，把正方體用一個與它的一面平行的平面切開，分成A、B兩個長方體，當A、B的表面積比是1：2時，用最簡單的整數比表示A和B的體積比是

1：5

．

Answer 1

分析：要求這兩個長方體的體積之比，把正方體的一個面看作A、B兩個小長方體的底面，又因為長方體的體積=底面積×高，因為A和B的底面積相等都等于正方體的一個面的面積，所以它們的高的比就等于體積之比，據此設A的高為x、B的高為y，所以原正方體的棱長就是x+y；根據長方體的表面積公式可得：A的表面積是2（x+y）（x+y）+4x（x+y）；B的表面積是2（x+y）（x+y）+4y（x+y）；據此根據表面積之比是1：2，可得比例式：2（x+y）（x+y）+4x（x+y）：2（x+y）（x+y）+4y（x+y）=1：2；根據比例的基本性質可得2[2（x+y）（x+y）+4x（x+y）]=2（x+y）（x+y）+4y（x+y），據此再利用等式的性質進行整理得出x與y的比即可；

解答：解：設A的高為x、B的高為y，所以原正方體的棱長就是x+y；
根據題干可得比例式：

2(x+y)(x+y)+4x(x+y)

2(x+y)(x+y)+4y(x+y)

=

1

2

；
2[2（x+y）（x+y）+4x（x+y）]=2（x+y）（x+y）+4y（x+y），
   2（x+y）（x+y）+4x（x+y）=（x+y）（x+y）+2y（x+y），
                 2（x+y）+4x=x+y+2y，
                    2x+2y+4x=x+3y，
                          5x=y，
                         

x

y

=

1

5

，
因為長方體的底面積一定時，高的比就等于體積之比，
所以A和B的體積之比是1：5，
答：A和B的體積比是1：5．
故答案為：1：5．

點評：此題主要考查長方體的表面積與體積公式的靈活應用，利用等式的性質和比例的基本性質將比例式化簡求出x、y的比過程較復雜．本題關鍵是明確：長方體的底面積一定時，高的比就等于體積之比．