Question

有這樣一串數

1

2

、

1

3

、

2

3

、

1

4

、

2

4

、

3

4

、

1

5

、

2

5

、

3

5

、

4

5

…
（1）第407個分數是多少？
（2）從

1

2

開始，前407個分數的和是多少？

Answer 1

考點：數列中的規律

專題：探索數的規律

分析：（1）觀察給出的數列知道，分母是2的分數有1個，分母是3的分數有2個，分母是4的分數有3個…分母是n的分數有n-1個，由此知道根據等差數列前n項的和n（n-1）÷2，先求出第407個分數的分母，進一步解決問題即可．
（2）分母是2的分數的和是

1

2

，分母是3的分數的和是1，分母是4的分數的和是

3

2

，分母是5的分數的和是2，…分母每增加1，它們的和就增加

1

2

，由此求解．

解答： 解：（1）因為分母是2的分數有1個，分母是3的分數有2個，分母是4的分數有3個…分母是n的分數有n-1個，
所以分數一共有1+2+3+4+…+（n-1）=

n(n-1)

2

，

29×(29-1)

2

=406；
則第407個分數是

1

30

．
答：第407個分數是

1

30

．

（2）第407個分數是

1

30

，第29個分數就是

28

29

，

1

2

+（

1

3

+

2

3

）+（

1

4

+

2

4

+

3

4

）+（

1

5

+

2

5

+

3

5

+

4

5

）+…（

1

29

+

2

29

+…

28

29

）+

1

30

=

1

2

+

2

2

+

3

2

+

4

2

+…+

28

2

+

1

30

=

(1+28)×28÷2

2

+

1

30

=203+

1

30

=203

1

30

答：從

1

2

開始，前407個分數的和是203

1

30

．

點評：解答此題的關鍵是根據給出的數列，歸納總結出規律，再根據規律解決問題．