Question

一位木工師傅有一塊30cm×14cm×10cm的長方體木塊，如圖1所示．他從長方體木塊上鋸去盡可能多的小正方體木塊（棱長為3cm），剩下的木塊如圖2所示（L-形）．

（1）多少塊棱長為3cm的小正方體被鋸掉了？
（2）剩下的L-形木塊總表面積是多少？

Answer 1

分析：（1）表面看來，求“多少塊棱長為3cm的小正方形被鋸掉了”似乎是一個簡單的立體圖形體積之間的關系問題，實際上則不然．原因是長方體木塊的長、寬、高（30cm×14cm×10cm）中，只有長30cm是小正方體棱長3cm的整數倍，也就是說，棱長為3cm的小正方體可以沿“長”（縱向）這條棱被全部鋸掉，但沿另外兩條棱鋸必然會剩下一段．因此，求“鋸去盡可能多的小正方體木塊”的塊數，不能簡單地用長方體木塊的體積除以小正方體木塊的體積（常規思維模式）去做：（30cm×14cm×10cm）÷（3cm×3cm×3cm），而需要考慮分別沿長、寬、高三條棱鋸，最多能鋸掉幾個小正方體木塊，即求長方體木塊的長、寬、高分別是小正方體木塊棱長的最大整數倍數．很容易我們就可以求得最大整數倍數為10、4、3倍．由此，我們可以得到：10×4×3=120（塊）．
（2）通過第（1）題的計算，我們不難發現剩下的L-形木塊的縱截面的內寬應是12cm，內高是9cm，上寬應是2cm，底面高是1cm．而同時，L-形木塊不是一個簡單的立體圖形，可以看作由兩個長方體木塊組合而成的，因此，我們可以分別計算出兩個長方體的表面積后，相加并減去“重疊部分”面積，即可得到剩下的L-形木塊總表面積．

解答：解：（1）30÷3=10（塊），
14÷3=4（塊）…2（cm），
10÷3≈3（塊）…1（cm），
10×4×3=120（塊）．
答：120塊棱長為3cm的小正方體被鋸掉了；

（2）（14×30+14×1+30×1）×2+（2×30+2×9+30×9）×2-2×30×2
=464×2+348×2-120
=928+696-120
=1504（cm²）．
答：剩下的L-形木塊總表面積是1504cm²．

點評：這是一道幾何中的有關體積和表面積的應用問題．注意求“鋸去盡可能多的小正方體木塊”的塊數，不能簡單地用長方體木塊的體積除以小正方體木塊的體積（常規思維模式）去做：（30cm×14cm×10cm）÷（3cm×3cm×3cm），而需要考慮分別沿長、寬、高三條棱鋸，最多能鋸掉幾個小正方體木塊，即求長方體木塊的長、寬、高分別是小正方體木塊棱長的最大整數倍數．