Question

有6個棱長分別是3cm，4cm，5cm的相同的長方體，把它們的某些面染上紅色，使得有的長方體只有一個面是紅色的，有的長方體恰有兩個面是紅色的，有的長方體恰有三個面是紅色的，有的長方體恰有四個面是紅色的，有的長方體恰有五個面是紅色的，還有一個長方體恰有六個面都是紅色的，染色后把所有長方體分割成棱長為1厘米的小正方體，分割完畢后，恰好只有一面是紅色的小正方體最多有多少個？

Answer 1

分析：要求最多有多少個一面涂色的小正方體，涂色時，就要盡量涂面積最大的長方體的面，然后再根據每個面上一面是紅色的小正方體的個數．
（1）一面涂色的面應是長5厘米，寬4厘米的長方形，
（2）兩面涂色的面也應是長5厘米，寬4厘米的2個長方形，
（3）三面涂色的面也應是長5厘米，寬4厘米的2個長方形，和一個長4厘米，寬3厘米的長方形，這樣比涂長5厘米，寬3厘米的長方形，涂一面的多．
（4）四面涂色的面也應是長5厘米，寬4厘米的2個長方形，和兩個長4厘米，寬3厘米的長方形，
（5）五面涂色的面也應是長5厘米，寬4厘米的2個長方形，和兩個長4厘米，寬3厘米的長方形，和一個長5厘米，寬3厘米的長方形，
（6）六面涂色的面也應是長5厘米，寬4厘米的2個長方形，和兩個長5厘米，寬3厘米的長方形，和兩個長4厘米，寬3厘米的長方形．據此解答．

解答：解：（1）一面是紅色的正方體上一面涂色的有：
5×4=20（個），
（2）兩面涂色的正方體上一面涂色的有：
5×4×2=40（個），
（3）三面涂色的正方體上一面涂色的有：
（5-1）×4×2+（3-1-1）×4，
=4×4×2+1×4，
=32+4，
=36（個），
（4）四面涂色的正方體上一面涂色的有：
（5-1）×（4-1）×2+（3-1-1）×4×2，
=4×3×2+1×4×2，
=24+8，
=32（個），
（5）五面涂色的正方體上一面涂色的有：
（5-1-1）×（4-1）×2+（3-1-1）×（4-1）×2+（5-1-1）×（3-1-1），
=3×3×2+1×3×2+3×1，
=18+6+3，
=27（個），
（6）六面涂色的正方體上一面涂色的有：
（5-1-1）×（4-1-1）×2+（3-1-1）×（4-1-1）×2+（5-1-1）×（3-1-1）×2，
=3×2×2+1×2×2+3×1×2，
=12+4+6，
=22（個），
一共一面涂色的小正方體的個數是：
20+40+36+32+27+22=177（個），
答：恰好只有一面是紅色的小正方體最多有177個．

點評：本題的關鍵是求出每面能切出的一面涂色的個數，和每個長方體涂的是哪個面．