Question

若 a，b，c 是三個互不相等的大于0的自然數，且a+b+c=1155，則它們的最大公約數的最大值為

 

，最小公倍數的最小值為

 

，最小公倍數的最大值為

 

．

Answer 1

分析：由于 a，b，c 是三個互不相等的大于0的自然數，且a+b+c=1155，可先將1155分解因數，然后根據其因數情況進行分析．1155=3×5×7×11．
（1）由于a+b+c=1155，而1155=3×5×7×11．令a=mp，b=mq，c=ms．則1155=mp+mq+ms=m（p+q+s）．m為a，b，c的最大公約數，則p+q+s最小取7．據此完成即可．1155=3×5×7×11=3×5×（1+2+4）×11即此時m=3×5×11=165．
（2）了使最小公倍數盡量小，應使三個數的最大公約數m盡量大，并且使a，b，c的最小公倍數盡量小，據此分析完成即可．
（3）為了使最小公倍數盡量大，應使三個數兩兩互質且乘積盡量大．當三個數的和一定時，為了使它們的乘積盡量大，應使它們盡量接近．據此分析．

解答：解：（1）由于a+b+c=1155，而1155=3×5×7×11．令a=mp，b=mq，c=ms．則1155=mp+mq+ms=m（p+q+s）．m為a，b，c的最大公約數，則p+q+s最小取7.1155=3×5×7×11=3×5×（1+2+4）×11，
即此時m=3×5×11=165．
（2）為了使最小公倍數盡量小，應使三個數的最大公約數m盡量大，并且使a，b，c的最小公倍數盡量小，所以應使m=165，此時三個數分別為1×165=165，165×2=330，165×4=660．
它們的最小公倍數為660，所以最小公倍數的最小值為660．
（3）為了使最小公倍數盡量大，應使三個數兩兩互質且乘積盡量大．
當三個數的和一定時，為了使它們的乘積盡量大，應使它們盡量接近．
由于相鄰的自然數是互質的，所以可以令1155=384+385+386，但是在這種情況下384和386有公約數2，
而當1155=383+385+387時，三個數兩兩互質，
它們的最小公倍數為383×385×387=57065085，
即最小公倍數的最大值為57065085．
故答案為：165、660、57065085．

點評：首先將1155分解質因數，然后根據最大分約數，最小分倍數的意義進行分是完成本題的關鍵．