Question

圖中，ABCD是平行四邊形，E在AB邊上，F在DC邊上，G為AF與DE的交點，H為CE與BF的交點．已知，平行四邊形ABCD的面積是1，

AE

EB

=

1

4

，三角形BHC的面積是

1

8

，求三角形ADG的面積．

Answer 1

分析：設出平行四邊形的底和高，得出F點的位置，進而用平行四邊形的底表示出CF、DF、BE、AE的長度，進而用平行四邊形的底和高與三角形ADG的底和高的關系，問題即可得解．

解答：解：設平行四邊形ABCD的底為a，高為h，ah=1．
AE=

a

5

，BE=

4a

5

，h=

1

a

．
1．計算F點在CD上的位置：
S_△BEH=BE×h÷2-S_△BCH，
=

4

5

a×

1

2a

-

1

8

，
=

11

40

；
h₁=2×S_△BEH÷BE（h₁為△BEH之BE邊上的高），
=2×

11

40

÷

4

5

a，
=

55

80a

；
S_△CFH=CF×（h-h₁）÷2，
=CF×h÷2-S_△BCH，
所以CF×（

1

a

-

55

80a

）÷2=CF×

1

a

÷2-

1

8

，
             CF×

25

160a

=CF×

80

160a

-

20

160

，
             CF×

55

160a

=

20

160

，
                    CF=

4a

11

；
DF=DC-CF=

7a

11

；

2．計算△ADG的面積：
S_△ADG=S_△ADE-S_△AEG，
=AE×h÷2-AE×h₂÷2，（h₂為△AEG之AE邊上的高）
=

a

5

×

1

a

÷2-

a

5

×h₂÷2，
=

1

10

-

a

10

×h2，（1）

S_△ADG=S_△ADF-S_△DFG，
=DF×h÷2-DF×（h-h₂）÷2，
=（DF×h₂）÷2，
=

7a

11

×h₂÷2，
=

7a

22

×h₂，（2）
（2）代入（1）可得：

7a

22

×h₂=

1

10

-

a

10

×h₂，

70a

220

×h₂=

22

220

-

22a

220

×h₂，
      h₂=

22

92a

，
S_△ADG=

7a

22

×h₂，
=

7a

22

×

22

92a

，
=

7

92

；
答：△ADG的面積是

7

92

．

點評：此題難度較大，關鍵是得出平行四邊形的底和高與三角形ADG的底和高的關系，問題即可得解．