Question

甲、乙兩人輪流從1，2，3，…，100，101這101個自然數中每次劃掉9 個數，經過11次后，還剩下兩個數．如果甲第一個劃數，請問甲是否有方法使得最后剩下的兩個數之差是55？并說明理由．

Answer 1

分析：由于56-1=55，57-2=55，…101-46=55，所以甲可先劃去47 至55 這9 個自然數，于是還剩下1 至46，56 至101這些數．將這些數分成以下46 組：（1，56），（2，57），（3，58），…，（45，100），（46，101）①．每組的兩個數之差都是55．接下來，如果乙只劃上述某組中的一個數，甲就劃掉該組的另一個數；如果乙劃掉了某組的兩個數，甲就將未劃掉數的另外一組劃掉．按此操作即可．

解答：解：甲先劃去47 至55 這9 個自然數，于是還剩下1 至46，56 至101這些數．
將這些數分成以下46 組：（1，56），（2，57），（3，58），…，（45，100），（46，101）①．
每組的兩個數之差都是55．
接下來，如果乙只劃上述某組中的一個數，甲就劃掉該組的另一個數；
如果乙劃掉了某組的兩個數，甲就將未劃掉數的另外一組劃掉．
由此，甲、兩人輪流劃數，則最后剩下的兩個數一定是①描述的一組，兩數之差為55．
所以甲可以采取上述的策略使得最后剩下的兩個數之差是55．

點評：完成本題首先要先由甲開始劃，然后將數字分組才能實施．