Question

一個直角三角形的三條邊的長度是3、4、5，如果分別以各邊為軸旋轉一周，得到三個立體．求這三個立體中最大的體積和最小的體積的比．

Answer 1

分析：這個三角形的兩條直角邊分別是3、4，斜邊是5．
以3為旋轉軸得到的是底面半徑為4，高為3的一個圓錐；
以4為旋轉軸得到的是底面半徑為3，高為4的一個圓錐；
根據圓錐的公式V=

1

3

πr²h即分別求出這兩個圓錐的體積．
以長為5的斜邊為軸旋轉得到的立體是由兩個圓錐底面上下疊合在一起組成的紡錐體．設兩個圓錐的高h₁h₂，則h₁+h₂=5，設底面的半徑是h，它是直角三角形斜邊上的高，由直角三角形面積公式：

1

2

×5h=

1

2

×3×4，得h=

12

5

．再由圓錐的體積公式計算紡錐體的體積．然后根據比的意義，求出這三個立體中最大的體積和最小的體積的比．

解答：解：（1）以長為3的直角邊分為軸旋轉得到的是一個圓錐，體積：V₃=

1

3

π×4²×3=16π；
（2）以長為4的直角邊為軸旋轉得到的立體也是圓錐，體積：V₄=

1

3

π×3²×4=12π；
（3）以長為5的斜邊為軸旋轉得到的立體是由兩個圓錐底面上下疊合在一起組成的紡錐體．
設兩個圓錐的高h₁和h₂，則有h₁+h₂=5，設底面的半徑是h，
它是直角三角形斜邊上的高，由直角三角形面積公式：

1

2

×5h=

1

2

×3×4，所以h=

12

5

．
再由圓錐的體積公式計算紡錐體的體積是：V₅=

1

3

πh²h₁+

1

3

πh²h₂=

1

3

πh²（h₁+h₂）=

1

3

π（

12

5

）²×5=

48

5

π；
（4）16π＞12π＞

48

5

π，
16π：

48

5

π=5：3．
答：最大的體積和最小的體積的比5：3．

點評：本題主要是考查圓錐的體積、紡錐體體積的計算．紡錐體體積的計算比較麻煩，用小學知識解答比較困難．