Question

一個三位數除以它的各位數字之和等于19，這樣的三位數有多少個？

Answer 1

分析：設這個三位數的百位，十位，個位上的數字分別為A、B、C，先根據這個三位數等于它的各位數字和的19倍，列出方程100A+10B+C=19（A+B+C），整理可得 9A=B+2C，因為A、B、C都是一位數字，據此推算得出A、B、C的取值情況，再經過檢驗，即可得出結果．

解答：解：設這個三位數的百位，十位，個位上的數字分別為A、B、C，先根據這個三位數等于它的各位數字和的19倍，列出方程100A+10B+C=19（A+B+C），
整理可得 9A=B+2C，
A最小是1，最大是9，且A、B、C都是一位數，
（1）當A=1時，B+2C=9，因為2C一定是偶數，所以B是奇數，
B=1，C=4，三位數是114；
B=3，C=3，這個三位數是133；
B=5，C=2，這個三位數是152；
B=7，C=1，這個三位數是171，
B=9，C=0，這個三位數是190，一共有，5個；

（2）當A=2時，B+2C=18，因為2C一定是偶數，所以B是偶數，
B=0，C=9，這個三位數是209；
B=2，C=8，三位數是228；
B=4，C=7，這個三位數是247；
B=6，C=6，這個三位數是266；
B=8，C=5，這個三位數是285，一共有5個；

（3）當A=3時，B+2C=27，因為2C一定是偶數，所以B是奇數，
所以B只能是9，則C=9，三位數是399，一共有1個；

（4）當A=4時，B+2C=36，因為2C一定是偶數，所以B是偶數，所以B取1～9時，C都是兩位數，不符合題意；
所以當A=5、6、7、8、9時，都找不出適合B、C的一位數；
據此可得：這樣的三位數有114、133、152、171、190、209、228、247、266、285、399，一共有11個．
答：這個三位數一共有11個．

點評：本題考查了數的整除性問題，屬于競賽題型，有一定難度．根據題意列出方程，然后根據能被19整除的數的特征得驗證推理得出正確的結果，是解答本題的關鍵．