Question

【題目】設函數f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.

(1)求函數f(x)的極值；(2)若關于x的方程f(x)＝a有三個不同的實根，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】試題分析：（1）先求出函數的導數，分別令求得的范圍，可得函數增區間， 求得的范圍，可得函數的減區間，根據函數的單調性，可得函數的極值；（2）方程 有三個實根等價于， 與 有三個交點，畫出函數的大致圖象，結合圖象與函數的極值可求出取值范圍.

試題解析：(1)f′(x)＝3x2－6，令f′(x)＝0，

解得x1＝－，x2＝.

因為當x>或x＜－時，f′(x)＞0；

當－＜x＜時，f′(x)＜0.

所以，f(x)的單調遞增區間為(－∞，－)和(，＋∞)；

單調遞減區間為(－，)．

當x＝－時，f(x)有極大值5＋4；

當x＝時，f(x)有極小值5－4.

(2)由(1)的分析知y＝f(x)的圖象的大致形狀及走向如圖所示．

所以，當5－4＜a＜5＋4時，

直線y＝a與y＝f(x)的圖象有三個不同的交點，

即方程f(x)＝a有三個不同的實根．