Question

有15位同學，每位同學都有編號，他們是1號到15號，1號同學寫了一個自然數，2號說：“這個數能被2整除”，3號說：“這個數能被他的編號數整除.1號作了檢驗：只有編號連續的二位同學說得不對，其余同學都對，問：
（1）說的不對的兩位同學，他們的編號是哪兩個連續自然數？
（2）如果告訴你，1號寫的數是五位數，請找出這個數．

Answer 1

分析：（1）首先可以判定編號是2、3、4、5、6、7號的同學說的一定都對．不然，其中說得不對的編號乘以2后所得編號也將說得不對．這個數能同時被2、5，3，4和2、7整除，則一定能被10、12、14整除，從而編號為10、12、14的同學說得對．由“兩個連續編號的同學說得錯“知，11，13，15號也說得對．因此，說的不對的兩個同學的編號是8和9．
（2）這個數是2、3、4、5、6、7、10、11、12、13、14、15的公倍數，因為[2，3，4，5，6，7，10，11，12，13，14，15]=60060．因為60060是一個五位數，而上述12個數的其它公倍數不是五位數，所以1號同學寫的數就是60060

解答：解：（1）根據2號～15號同學所述結論，將合數4，6，，（15分）解質因數后，由1號同學驗證結果，進行分析推理得出問題的結論．
4=2²，6=2×3，8=2³，9=3²，10=2×5，12=2²×3，14=2×7，15=3×5．
由此不難斷定說得不對的兩個同學的編號是8與9兩個連續自然數（可逐次排除，只有8與9滿足要求）．
（2）1號同學所寫的自然數能被2，3，4，5，6，7，10，11，12，13，14，15這12個數整除，也就是它們的公倍數．它們的最小公倍數是2²×3×5×7×11×13=60060．
因為60060是一位五位數，而這12個數的其他公倍數均不是五位數，所以1號同學寫的五位數是60060．

點評：此題考查了學生數的整除特征，同時解答此題要有較強的分析推理能力．本題難度較高，應認真分析．