Question

一段樓梯共有12級，上樓梯每次跨兩級或三級，上樓共有多少種走法？

Answer 1

考點：排列組合

專題：傳統應用題專題

分析：如果設上n階樓梯有a_n種上法，n是正整數．根據已知條件，他每步可上2階或3階樓梯（不上1階），易知a₁=0，a₂=1，a₃=1．考察a_n：把上n階樓梯的方法分成兩類，第一類是最后一步邁大步上3階樓梯的上法，第二類是最后一步邁小步上2階樓梯的上法，由加法原理知a_n等于兩類上樓梯方法數之和．第一類上法應先到達第（n-3）階，再一步“登頂”，有a_n-3種方法；第二類上法應先到達第（n-2）階，再一步“登頂”，有a_n-2種方法，于是得到遞推關系式：a_n=a_n-2+a_n-3，n≥4．據此求出a₁₂的值．

解答： 解：設上n階樓梯有a_n種上法，n是正整數，則a₁=0，a₂=1，a₃=1．
由加法原理知a_n=a_n-2+a_n-3，n≥4．
遞推可得a₄=a₂+a₁=1，
a₅=a₃+a₂=2，
a₆=a₄+a₃=2，
a₇=a₅+a₄=3，
a₈=a₆+a₅=4，
a₉=a₇+a₆=5，
a₁₀=a₈+a₇=7，
a₁₁=a₉+a₈=9，
a₁₂=a₁₀+a₉=12．
答：上12階樓梯的不同上法有12種．

點評：本題是規律性題目，主要考查了加法原理的應用，屬于競賽題型，有一定難度．解答此題的關鍵是能夠根據所給的條件，分析出上n階樓梯的方法有兩類，而由加法原理知a_n等于兩類上樓梯方法數之和．