Question

有一串數1，1，2，3，5，8，…，從第三個數起，每個數都是前兩個數之和，在這串數的前2011個數中，有

402

個數是5的倍數．

Answer 1

分析：觀察題干發現：“從第三個數起，每個數都是前兩個數之和”說明從第三個數起，每個數除以5的余數都是前兩個數除以5的余數之和，所以我們只需排出每個數除以5的余數，然后找出余數的規律就行了：
1÷5=0余1，所以第三個數除以5的余數就是 1+1=2；
2÷5=0余2，所以第四個數除以5的余數是 1+2=3；
3÷5=0余3，所以第五個數除以5的余數是 （2+3）÷5=1余0；
0÷5=0余0，所以第六個數除以5的余數是 3+0=3；
…以此類推，余數排列如下：
1，1，2，3，0，3，3，1，4，0，4，4，3，2，0，2，2，4，1，0，1，1，2，3…
發現規律：每5個余數為一周期，每一個周期的第5個數除以5的余數為0，即是5的倍數，所以2011÷5=402…1；
即這串數的前2011個數中有402個是5的倍數．

解答：解：分析題干推出此數列除以5的余數數列為：
1，1，2，3，0，3，3，1，4，0，4，4，3，2，0，2，2，4，1，0，1，1，2，3…
觀察余數數列發現，每5個余數為一周期，這5個數的最后一個能被5整除；
2011÷5=402…1；
余下的1個數不是5的倍數．
答：這串數的前2011個數中有402個是5的倍數．
故答案為：402．

點評：觀察數列，找出此數列的余數規律，然后運用找出的規律解決問題．