Question

如圖，直角三角形如果以BC邊為軸旋轉(zhuǎn)一周，那么所形成的圓錐的體積為16π，以AC邊為軸旋轉(zhuǎn)一周，那么所形成的圓錐的體積為12π，那么如果以AB為軸旋轉(zhuǎn)一周，那么所形成的幾何圖形的體積是多少？

Answer 1

考點(diǎn)：規(guī)則立體圖形的體積

專題：立體圖形的認(rèn)識(shí)與計(jì)算

分析：直角三角形如果以BC邊為軸旋轉(zhuǎn)一周，那么所形成的圓錐的底面半徑為AC，高為BC；以AC邊為軸旋轉(zhuǎn)一周，那么所形成的圓錐的底面半徑為BC，高為AC；由此利用圓錐的體積公式即可得出兩個(gè)等式，進(jìn)而即可求出直角三角形的三條邊的長(zhǎng)度；以AB為軸旋轉(zhuǎn)一周，那么所形成的幾何體相當(dāng)于兩個(gè)底面相等的圓錐疊在一起，從而利用圓錐的體積公式即可求解．

解答： 解：設(shè)BC=a，AC=b，
那么以BC邊為軸旋轉(zhuǎn)一周，那么所形成的圓錐的體積為

ab2π

3

，
以AC邊為軸旋轉(zhuǎn)一周，那么所形成的圓錐的體積為

a2bπ

3

，
由此可得：

ab2=48 a2b=36

，兩個(gè)等式相除可以得到

b

a

=

4

3

，
將這個(gè)比例式代入原方程可以得到：

a=3 b=4

，
根據(jù)勾股定可以得出這個(gè)直角三角形的斜邊的長(zhǎng)度是5，那么斜邊上的高就是2.4，
因此以AB為軸旋轉(zhuǎn)一周，那么所形成的幾何體相當(dāng)于兩個(gè)底面相等的圓錐疊在一起，
底面半徑為2.4，高的和為5，
所以體積是

2.42×5×π

3

=9.6π．
答：所形成的幾何圖形的體積是9.6π．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查圓錐體的體積的計(jì)算方法，關(guān)鍵是明確圓錐的底面半徑和高的長(zhǎng)度．