Question

如圖所示，已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面邊長為1，點E在棱AA₁上，A₁C∥平面EBD，截面EBD的面積為．
（1）A₁C與底面ABCD所成角的大小；
（2）若AC與BD的交點為M，點T在CC₁上，且MT⊥BE，求MT的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接EM，根據線面平行的性質可知A₁C∥EM，易知∠A₁CA為A₁C與底面ABCD的所成角，在△A₁CA中，求出此角即可；
（2）建立直角坐標系D-xyz則求出E，B，M的坐標，設T點的坐標為（0，1，z），根據BE⊥MT則•=0求出z，根據向量的模就是線段的長即可求出MT的長．
解答：解：（1）如圖所示，連接EM因為A₁C∥平面EBD，平面A₁CA∩平面EBD=EM，
所以A₁C∥EM；又M為AC的中點，故E為AA₁的中點
∴S△EBD=וME=則ME=1
∵AA₁⊥底面ABCD∴∠A₁CA為A₁C與底面ABCD的所成角
在△A₁CA中，A₁C=2EM=2
cos∠A₁CA=
∴A₁C與底面ABCD所成角的大小45°
（2）如圖建立直角坐標系D-xyz則E（1，0，），B（1，1，0），M（，，0）設T點的坐標為（0，1，z）
故=（0，-1，），=（-，，z）
∵BE⊥MT∴•=0
∴+z=0
∴z=∴點T的坐標為（0，1，）
=（-，，）∴||=1
故MT=1
點評：本題考查直線與平面平行的性質，直線與平面所成的角，線段長的度量，考查空間想象能力，邏輯思維能力．