Question

三個完全一樣的長方體，棱長總和為288厘米，每個長方體交于同一點的三條棱長恰好是三個連續的自然數．給這三個長方體涂色：一個涂一個面，一個涂兩個面，一個涂三個面．涂色后把三個長方體切成棱長為1厘米的小正方體，試計算只有一個面涂色的小正方體至少有

307

個．

Answer 1

分析：根據長方體的特征先求出交于同一點的三條棱的長度和：288÷3÷4=24（厘米），因為24=7+8+9，所以長寬高分別是：9厘米，8厘米，7厘米，要使一個面涂色的小正方體最少，就必須涂長方體上面積小的面，當涂兩個面、三個面時，要讓它們盡可能的共棱，因為棱上的和頂點上的小正方體至少兩面涂色，所以根據這個要求選面涂色；長方體的各面大小依次為7×8＜7×9＜8×9，所以一面涂色要涂7×8的面，共有：7×8÷（1×1）=56個；兩面涂色要涂7×8和7×9相鄰的面，共有：[7×（8-1）+7×（9-1）]÷（1×1）=105個；三面涂色要涂7×8、7×9和8×9兩兩相鄰的面，共有：[（7-1）×（8-1）+（7-1）×（9-1）+（8-1）×（9-1）]÷（1×1）=146個，三者的總個數是：56+105+146=307個，據此解答．

解答：解：288÷3=96（厘米），
96÷4=24（厘米），
因為每個長方體交于同一點的三條棱長恰好是三個連續的自然數，
又因為：24=7+8+9，所以每個長方體的長寬高分別是：9厘米，8厘米，7厘米，
又因為，7×8＜7×9＜8×9，
所以，涂一個面的長方體至少能分成：7×8÷（1×1）=56（個）；
涂兩個面的長方體至少能分成：[7×（8-1）+7×（9-1）]÷（1×1）=105（個）；
涂三個面的長方體至少能分成：[（7-1）×（8-1）+（7-1）×（9-1）+（8-1）×（9-1）]÷（1×1）=146（個），
三者的總個數是：56+105+146=307（個），
答：只有一個面涂色的小正方體至少有307個．
故答案為：307．

點評：本題解答要遵循盡量涂面積小的面和兩個面共棱的面，這樣便于去掉棱上兩面涂色和三面涂色的小正方體，能滿足“至少”這個條件．