Question

已知函數(shù)f(x)=

(3-a)x-3，(x≤7) ax-6，(x＞7)

，若數(shù)列{a_n}滿足a_n=f（n）（n∈N₊）且對任意的兩個正整數(shù)m，n（m≠n）都有（m-n）（a_m-a_n）＞0，那么實數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A．[

  9

  4

  ，3）
• B．（

  9

  4

  ，3）
• C．（2，3）
• D．（1，3）

Answer 1

分析：由函數(shù)f（x）=

(3-a)x-3，x≤7 ax-6，x＞7

，數(shù)列a_n滿足a_n=f（n）（n∈N^*），且對任意的兩個正整數(shù)m，n（m≠n）都有（m-n）（a_m-a_n）＞0，我們得函數(shù)f（x）=

(3-a)x-3，x≤7 ax-6，x＞7

為增函數(shù)，根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)，我們得函數(shù)在各段上均為增函數(shù)，根據(jù)一次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)單調(diào)性，我們易得a＞1，且3-a＞0，且f（7）＜f（8），由此構(gòu)造一個關(guān)于參數(shù)a的不等式組，解不等式組即可得到結(jié)論．

解答：解：∵對任意的兩個正整數(shù)m，n（m≠n）都有（m-n）（a_m-a_n）＞0，
∴數(shù)列{a_n}是遞增數(shù)列，
又∵f（x）=

(3-a)x-3，x≤7 ax-6，x＞7

，
a_n=f（n）（n∈N^*），
∴1＜a＜3且f（7）＜f（8）
∴7（3-a）-3＜a²
解得a＜-9，或a＞2
故實數(shù)a的取值范圍是（2，3）
故選C．

點評：本題考查的知識點是分段函數(shù)，其中根據(jù)分段函數(shù)中自變量n∈N^*時，對應(yīng)數(shù)列為遞增數(shù)列，得到函數(shù)在兩個段上均為增函數(shù)，且f（7）＜f（8），從而構(gòu)造出關(guān)于變量a的不等式是解答本題的關(guān)鍵．