Question

⑴ 寫出三個不同的自然數(shù)，使得其中任意兩個數(shù)的乘積與10的和都是完全平方數(shù)，請予以驗證；
⑵ 是否存在四個不同的自然數(shù)，使得其中任意兩個數(shù)的乘積與10的和都是完全平方數(shù)？請證明你的結(jié)論．

Answer 1

(Ⅰ)2，3，13  (Ⅱ)略

：對于任意n∈N*，n²≡0，1(mod 4)．設a，b是兩個不同的自然數(shù)，①若a≡0(mod 4)或b≡0(mod 4)，或a≡b≡2(mod 4)，均有ab≡0(mod 4)，此時，ab＋10≡2(mod 4)，故ab＋10不是完全平方數(shù)；② 若a≡b≡1(mod 4)，或a≡b≡3(mod 4)，則ab≡1(mod 4)，此時ab＋10≡3(mod 4)，故ab＋10不是完全平方數(shù)．由此知，ab＋10是完全平方數(shù)的必要不充分條件是ab(mod 4)且a與b均不能被4整除．
⑴ 由上可知，滿足要求的三個自然數(shù)是可以存在的，例如取a＝2，b＝3，c＝13，則2×3＋10＝4²，2×13＋10＝6²，3×13＋10＝7²．即2，3，13是滿足題意的一組自然數(shù)．
⑵ 由上證可知不存在滿足要求的四個不同自然數(shù)．
這是因為，任取4個不同自然數(shù)，若其中有4的倍數(shù)，則它與其余任一個數(shù)的積加10后不是完全平方數(shù)，如果這4個數(shù)都不是4的倍數(shù)，則它們必有兩個數(shù)mod 4同余，這兩個數(shù)的積加10后不是完全平方數(shù)．故證．