Question

在數列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=a_n+c（c為常數，n∈N^*），且a₁，a₂，a₅成公比不為1的等比數列．
（1）求c的值；
（2）設bn=

1

anan+1

，求數列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）利用遞推關系判斷出數列{a_n}為等差數列，將a₁，a₂，a₅用公差表示，據此三項成等比數列列出方程，求出c．
（2）寫出b_n，據其特點，利用裂項的方法求出數列{b_n}的前n項和S_n．

解答：解：（1）∵a_n+1=a_n+c
∴a_n+1-a_n=c
∴數列{a_n}是以a₁=1為首項，以c為公差的等差數列
a₂=1+c，a₅=1+4c
又a₁，a₂，a₅成公比不為1的等比數列
∴（1+c）²=1+4c
解得c=2或c=0（舍）
（2）由（1）知，a_n=2n-1
∴bn=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
∴Sn=

1

2

[(1- 

1

3

)+(

1

3

 -

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1)]

=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

點評：求數列的前n項和時，應該先求出通項，根據通項的特點，選擇合適的求和方法．