Question

在數列{a_n}中，a，并且對任意n∈N^*，n≥2都有a_n•a_n-1=a_n-1-a_n成立，令b_n=（n∈N^*）．
（Ⅰ）求數列{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）設數列{}的前n項和為T_n，證明：．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由a_n•a_n-1=a_n-1-a_n，得，由此推導出b_n-b_n-1=1，從而得到b_n=n+2．
（Ⅱ）由==（），利用錯位相減法求出T_n=[-（+）]，由此能夠證明．
解答：（本小題滿分14分）
解：（Ⅰ）∵數列{a_n}中，a，并且對任意n∈N^*，n≥2都有a_n•a_n-1=a_n-1-a_n成立，b_n=（n∈N^*），
∴當n=1時，=3；
當n≥2時，由a_n•a_n-1=a_n-1-a_n，得，
∴b_n-b_n-1=1，
∴數列{b_n}是首項為3，公差為1的等差數列，
∴b_n=n+2．
（Ⅱ）∵==（），
∴T_n=（1-+-+-+…+-+-
=[-（+）]，
∴T_n是關于變量n的增函數，當n趨近無窮大時，的值趨近于0，
當n=1時，T_n取最小值，故有．
點評：本題考查數列的通項公式的求法，考查不等式的證明，解題時要認真審題，注意迭代法和裂頂求和法的合理運用．