Question

如圖，在以AB為直徑的半圓上取一點C，分別以AC和BC為直徑在△ABC外作半圓AEC和BFC．當C點在什么位置時，圖中兩個彎月型（陰影部分）AEC和BFC的面積和最大．

Answer 1

分析：觀察圖形可知，用直徑為AC的半圓的面積加上直徑為BC的半圓的面積之和減去直徑為AB的半圓的面積再加上三角形ABC的面積即可得到兩個彎月型陰影部分的面積；結合圓中的一些性質：直徑所對的圓周角是直角，以及勾股定理可以得到∠ACB為直角，AC²+BC²=AB²，由此可得兩個彎月型陰影部分的面積和就等于三角形ABC的面積，因此問題轉化成點C在何處時，三角形ABC的面積最大，依據三角形的面積公式，當底不變時，高越大面積就越大，據此即可解決．

解答：解：由分析知，兩個彎月型面積和為：

1

2

π×(

AC

2

)2+

1

2

π×(

BC

2

)2-

1

2

π×(

AB

2

)2+

1

2

×AC×BC
=

1

8

πAC²+

1

8

πBC²-

1

8

πAB²+

1

2

×AC×BC
=

1

8

π（AC²+BC²-AB²）+

1

2

×AC×BC
=

1

2

×AC×BC；
所以兩個彎月型面積和=△ABC的面積．
當△ABC的底不變時，高越大，面積就越大，
所以當點C在圓周的最高處，即在弧AB的中點上時，△ABC的面積最大，此時，兩個彎月型面積和也最大．

點評：本題難度較大，用到圓的性質以及勾股定理的知識，解決的關鍵就是能推導出兩個彎月型陰影部分的面積和等于三角形ABC的面積．