Question

在一個等邊三角形內畫一個盡可能大的圓，又在這個圓內畫一個盡可能大的等邊三角形，圖中小等邊三角形的面積相當于大等邊三角形面積的．（提示：動手畫一畫）

Answer 1

解：如圖所示：

作圖步驟：
1、作等邊三角形ABC，
2、分別作三個內角的平分線AE，CD，BF相交于點O，
3、以點O為圓心，OE長為半徑作圓O，則圓O即三角形ABC內面積最大的圓--內切圓，
4，連接DE，EF，DF，則三角形DEF即圓O的內接等邊三角形，也就是圓O內面積最大的三角形．
由等腰三角形三線合一的性質可知，點D，E，F分別為三角形ABC三邊的中點，因而DE，DF，EF為三角形ABC的三條中位線，因為三角形的三條中位線把三角形分成四個面積相等的三角形，因而圖中小等邊三角形DEF的面積相當于大等邊三角形面積的．
故答案為：．
分析：
如圖所示，在等邊三角形ABC內能畫出的面積最大的圓是三角形ABC的內切圓O，設三個切點分別為D、E、F，則三角形DEF為圓O內面積最大的等邊三角形，由等腰三角形的三線合一的性質可知，點D、E、F分別為三角形ABC三邊的中點，即DE，DF，EF為三角形ABC的三條中位線，因為三角形的三條中位線把三角形分成四個面積相等的三角形，因而圖中小等邊三角形DEF的面積相當于大等邊三角形面積的．
點評：本題較為復雜，若想要嚴格的證明，需用到初中階段的相似三角形的性質，或特殊角的三角函數及勾股定理．